Derivadas

CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

 

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

 

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

 

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

 

Entonces f tiene un máximo local en c.

 

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

 

 

 

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo  basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

 

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

 

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

 

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

 

 

 

Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

 

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

 

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese  intervalo.

 

 

 

 

SEGUNDA PARTE DE DERIVACIÓN

DERIVACIÓN EN CADENA

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

DERIVACIÓN IMPLICITA

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

DERIVADAS

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

            Derivada de la función exponencial
es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma    

Derivada de un cociente

es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.

La función a derivar, f(x), puede escribirse como

Derivada de un  producto

En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:

• 
• (Notación de Leibniz)

Obviamente al resolverse como una suma de productos, el orden no importa, lo importante es que no se confunda f(x), g(x), f'(x) y g'(x).

Derivada de una raiz

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

viernes 8 de octubre de 2010

POSIBLE SOLUCION AL PROBLEMA

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

"En este proyecto, se investiga el modo más económico de formar una lata. En primer lugar, esto significa que se da el volumen V de una lata cilíndrica y  necesita hallar la altura h y el radio r que minimice el costo del metal para fabricarla. Si hace caso omiso de cualquier desecho de metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar el área superficial del cilindro. En el ejemplo 2 de la sección 4.7, se resolvió este problema y halló que h=2r; es decir, la altura debe ser igual al diámetro. Pero si usted va a su alacena o al supermercado con una regla, descubrirá que la altura suele ser mayor que el diámetro y que la relación h/r varía desde 2 hasta alrededor de 3.8."