maximoy minimo

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:

? Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva ? Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir,

Si Si

Como Þ ,es decir, la función es creciente en

En este caso Þ , es decir, la función es decreciente en

x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.

Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 1.

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

  Þ  

Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos

 ,     y    

Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función Þ à Þ

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.

? Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente

Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal ? Si y existe la segunda derivada, se verifica:

     Si  , hay un mínimo relativo en el punto c

     Si  , hay un máximo en dicho punto.

Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego

 Y como  ,   , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.